Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Programa de Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional Geometria Espacial - Um Curso Com GeoGebra Rafael Gomes Xavier Goiânia 2016 Rafael Gomes Xavier Geometria Espacial - Um Curso Com GeoGebra Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás, como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Matemática do Ensino Básico Orientador: Prof. Dr. Ole Peter Smith Goiânia 2016 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial deste trabalho sem a autorização da universidade, do autor e da orientadora. Rafael Gomes Xavier Graduou-se em Matemática pela UFG - Universidade Federal de Goiás. É professor pela Secretaria Estadual de Educação e Cultura de Goiás, Lecionou no Colégio SESI de Campinas e atualmente leciona em tempo integral no Colégio Estadual Professor Pedro Gomes. Dedico este trabalho a minha esposa Ludmyla, aos meus pais Eurípedes e Elzira pelo incentivo. Agradecimentos Agradeço a Deus e aos meus familiares que sempre me incentivaram. Em especial aos meus pais, minha esposa e meu irmão. Agradeço aos professores do curso, aos colegas de aula, em especial ao colega e amigo Rodrigo Miyasaki que sempre esteve a disposição para me ajudar e incentivar. Agradeço ao Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e a Universidade Federal de Goiás pela realização deste curso, que é uma grande oportunidade para os prossionais da educação em Matemática. Agradeço ao professor e orientador, Prof. Dr. Ole Peter Smith 8 Resumo Este trabalho é uma proposta de uso do software GeoGebra no curso de geometria espacial para alunos de 2o ano do ensino médio. A escolha deste software se deu pelas suas características didáticas, que tornam a compreensão dos conceitos trabalhados mais acessíveis aos alunos. O software foi aplicado, como sugestão, no estudo de poliedros, prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas. Espero que a leitura deste material suscite nos professores o desejo de criação de novas ideias para uso deste software e de outros em suas aulas, inserindo o ensino da matemática em uma perspectiva mais atual, utilizando ferramentas tecnológicas que são comuns ao cotidiano dos alunos. i Palavras-chave Geogebra, Grupos, Geometria espacial ii Abstract This paper is a proposal for use of GeoGebra software in geometry course Space for second year high school students. The choice of this software was given by their didactic characteristics that make the understanding of the concepts developed more accessible to students. The software was applied, as suggested in the study of polyhedra, prisms, pyramids, cylinders, cones and spheres. I hope that reading this raise in teachers stu the desire to create new ideas for using this software and others in their classes, entering the teaching of mathematics in a more current perspective, using technological tools They are common to the daily lives of students. iii Keywords Geogebra, Groups, spatial geometry iv Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comandos básicos para a construção do octaedro Poliedro convexo e não-convexo . . . . . . . . . . Triângulo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ângulos internos de um prisma pentagonal . . . . Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . Construção de prisma (1) . . . . . . . . . . . . Construção de prisma (2) . . . . . . . . . . . . Construção de prisma (3) . . . . . . . . . . . . Construção de prisma (4) . . . . . . . . . . . . Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos do prisma . . . . . . . . . . . . . . Exemplos de prismas e seus respectivos nomes Prismas: reto e oblíquo . . . . . . . . . . . . . Comandos básicos para planicação . . . . . . Animando a planicação de um prisma . . . . Animação do prisma hexagonal . . . . . . . . Exemplos de paralelepípedos . . . . . . . . . . Cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonal do paralelepípedo . . . . . . . . . . . Diagonal do cubo . . . . . . . . . . . . . . . . Área do paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . Volume de um paralelepípedo . . . . . . . . . Decomposição de um paralelepípedo . . . . . . Ilustrando o problema . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 6 9 12 13 14 14 15 15 16 17 17 18 18 19 20 20 21 22 23 24 24 26 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Princípio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volume de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . Pirâmides do Egito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos da pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . Pirâmide regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volume de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . Volume de um prisma decomposto em três pirâmides Tetraedro não regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetraedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cilindros no cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . Denição de um cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . Construção de um cilindro de revolução . . . . . . . . Cilindro planicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volume do cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Denição de um cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotação de um cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos de um cone . . . . . . . . . . . . . . . . . Relação entre altura, raio e getratriz . . . . . . . . . Cone planicado e montado . . . . . . . . . . . . . . Volume de um cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Denição de uma esfera . . . . . . . . . . . . . . . . Volume de uma esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de uma superfície esférica . . . . . . . . . . . . Área de um fuso esférico . . . . . . . . . . . . . . . . Volume de uma cunha esférica . . . . . . . . . . . . . Eixos de rotação do tetraedro . . . . . . Aplicação de rotações r e s no tetraedro . Tábua de operação . . . . . . . . . . . . Tábua de S3 . . . . . . . . . . . . . . . . Rotação que induz a uma permutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 28 30 30 31 31 32 33 34 35 37 37 38 38 40 41 41 42 42 43 43 44 45 46 47 47 48 49 52 52 55 56 58 vi Sumário Introdução 1 Introdução sobre poliedros 1.1 1.2 1.3 1.4 Poliedros convexos e não-convexos Relação de Euler . . . . . . . . . Poliedros convexos - Propriedade Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5 8 10 3 2 Alguns Poliedros 2.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Elementos do prisma . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Prisma reto e prisma oblíquo . . . . . . . 2.1.3 Planicação de um prisma . . . . . . . . . 2.1.4 Casos particulares - Paralelepípedo e Cubo 2.1.5 Áreas - Paralelepípedo e Cubo . . . . . . . 2.1.6 Volumes - Paralelepípedo e Cubo . . . . . 2.1.7 Áreas da superfície de um prisma . . . . . 2.1.8 Princípio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . 2.1.9 Volume de um prisma . . . . . . . . . . . 2.2 Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Elementos da pirâmide . . . . . . . . . . . 2.2.2 Pirâmide regular . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Áreas da superfície de uma pirâmide . . . 2.2.4 Volume de uma pirâmide . . . . . . . . . . 2.2.5 Área total e volume de um tetraedro . . . 2.3 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 13 13 16 17 18 20 22 24 26 27 28 30 31 31 32 32 34 37 2.3.1 Área da superfície de um cilindro . 2.3.2 Volume do cilindro . . . . . . . . . 2.4 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Área da superfície de um cone reto 2.4.2 Volume de um cone . . . . . . . . . 2.5 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Volume de uma esfera . . . . . . . 2.5.2 Área de uma superfície esférica . . 2.5.3 Área de um fuso esférico . . . . . . 2.5.4 Volume de uma cunha esférica . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Simetrias de um tetraedro Grupos . . . . . . . . . . . Grupos nitos . . . . . . . Grupos de permutações . . Isomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 39 41 42 44 45 46 47 48 49 3 Introdudução ao estudo de grupos utilizando o tetraedro 51 51 53 54 55 58 4 Considerações nais Referências Bibliográcas 60 62 viii Introdução O conteúdo de geometria espacial é complexo e de muita importância na matemática, fazendo parte do currículo do Ensino Médio. Para que a geometria espacial seja compreendida, é necessário ter uma melhor visualização dos sólidos geométricos estudados. Quanto melhor for a visualização desse objeto de estudo em diferentes ângulos, melhor é a sua compreensão. Nem sempre é possível levar exemplos concretos dos sólidos para a sala de aula, o que diculta o entendimento e a memorização do que está sendo estudado pelo aluno, podendo levá-lo ao desinteresse pela disciplina. A geometria espacial é composta por três dimensões e, quando o professor faz as representações desses objetos no quadro, a imagem do sólido não ca boa, porque o mesmo está representando um sólido 3D em uma região 2D. Sendo assim, a utilização de um software que permite trabalhar com essa perspectiva é de fundamental importância nas aulas, tornando-se um recurso pedagógico de muito valor. A partir daí, o PROFMAT me deu a oportunidade de conhecer o Geogebra nas aulas de Recursos Computacionais, um software matemático idealizado por Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg. Com este programa, é possível trabalhar com geometria, álgebra e cálculo. O uso deste recurso tecnológico para trabalhar com a geometria espacial surge como uma tentativa para melhorar as aulas de geometria, pois o software permite estudar um determinado sólido geométrico em movimento, o que faz com que a visualização deste objeto de estudo seja melhor. Portanto, a ideia de trabalhar com a utilização do Geogebra envolvendo os conteúdos de poliedros, prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas tem a nalidade de expor melhor os conceitos de geometria espacial. Além disso, quando trabalhamos com geometria espacial nos preocupamos em calcular as áreas e volumes dos sólidos. O professor pode utilizar alguns comandos do software que calcula essas áreas e volumes. Pode também fazer "demonstrações"de fórmulas matemáticas, sem o rigor matemático necessário com a utilização do Geogebra. 1 Assim, pode-se levar a uma melhor compreensão acerca dos sólidos geométricos. As ideias aqui contidas nasceram, então, da perspectiva de auxiliar os alunos a obter uma melhor visualização dos sólidos geométricos, além daquela que o método tradicional de ensino permite (quadro e giz), procurando utilizar uma ferramenta ainda mais próxima ao jovem do século XXI: a tecnologia. Para tal, procuraremos expor um trabalho desenvolvido com alunos do Ensino Médio de uma escola pública, durante as aulas de Matemática. Na seção Introdução aos poliedros, apresentaremos alguns comandos do programa nas construções de poliedros, trabalhando com a denição de poliedros e de poliedros regulares, que são conhecidos como sólidos de Platão. Mostraremos também a relação de Euler e as propriedades de um poliedro convexo, além de alguns exercícios de exemplos. Na seção de Prismas, serão trabalhados alguns comandos do Geogebra para construir sólidos. Também neste capítulo, exploraremos o programa para mostrar a planicação, áreas e volumes de prismas. Nas seções de Pirâmides, Cilindros e Cones utilizaremos o programa para mostrar sobre áreas e volumes destes sólidos. Apresentaremos também os elementos de uma pirâmide, e trabalharemos com pirâmides regulares, dando exemplos de onde podemos encontrar estes sólidos do dia a dia. Na seção sobre esfera, mostraremos o seu volume fazendo uso dos recursos que o Geogebra contém, apresentando ainda um artifício para "demonstrar"a área de uma esfera. Através de proporção, é apresentada a área do fuso e o volume da cunha esférica. No capítulo 3, utilizaremos o tetraedro para introdução de estudo de grupos, vericaremos a quantidade de rotações que este sólido possui. Em seguida, deniremos grupos e mostraremos o grupo de permutações. No sítio www.geogebra.org pode-se fazer o download do geogebra, já que este software é livre. 2 Capítulo 1 Introdução sobre poliedros Os poliedros são sólidos geométricos conhecidos pelo homem desde antes de Cristo. Platão, lósofo grego discípulo de Sócrates, estudou esses sólidos. Para ele, tudo era composto por terra, ar, fogo e água, sendo que a cada um desses elementos correspondia um poliedro regular. A terra era representada pelo Hexaedro (cubo) devido a sua "estabilidade", ao ar o octaedro, ao fogo o tetraedro, e à água , o icosaedro, e o dodecaedro representava o elemento de que o universo seria feito. Denição 1.0.1. Poliedro é denido como um sólido geométrico limitado por um número nito de polígonos planos, que são suas faces, e tomando essas faces de dois a dois elas têm um lado comum. Os poliedros possuem três elementos: Arestas, Vértices e Faces. Nesse momento, é interessante que o professor do Ensino Médio utilize o GeoGebra para mostrar aos alunos alguns poliedros. Figura 1.1: Poliedros 3 Por que o GeoGebra? Pelo fato de ser melhor a visualização do poliedro no software do que no quadro; pois no quadro, a construção da gura pode ser desproporcional, porque é uma gura de 3 dimensões que foi feita em duas. Já no programa há uma opção chamada de janela de visualização 3D, que está localizada na barra de menu, no item exibir. Devido a esse recurso, a visualização do poliedro é melhor. Os comandos utilizados para a construção do octaedro regular foram feitos em três passos. Na gura abaixo a seta vermelha indica o protocolo de construção do poliedro e o retângulo vermelho o campo de entrada. Cada um dos passos foram inseridos no campo de entrada. O 1o Passo: o ponto A, o 2o Passo: o ponto B e o 3o Passo: o comando octaedro utilizando os dois pontos criados anteriormente. Figura 1.2: Comandos básicos para a construção do octaedro A nomenclatura dos poliedros convexos são dados de acordo com os números de faces. Como mostra a tabela abaixo. tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro octaedro icosaedro poliedro convexo com 4 faces poliedro convexo com 5 faces poliedro convexo com 6 faces poliedro convexo com 7 faces poliedro convexo com 8 faces poliedro convexo com 20 faces 4 1.1 Poliedros convexos e não-convexos Denição 1.1.1. Um poliedro é convexo quando quaisquer dois pontos pertencentes ao sólido formam um segmento de reta contido nele. Caso contrário, dizemos que o poliedro é não-convexo. Figura 1.3: Poliedro convexo e não-convexo 1.2 Relação de Euler A relação de Euler é um teorema importante nos estudos de poliedros convexos. O matemático francês Adrien Marie Legendre (1752 a 1833) fez uma demonstração desse teorema utilizando como argumento central a soma dos ângulos de um polígono. Teorema 1.2.1. Seja P um poliedro convexo com F faces, A arestas e V vértices. Tem-se necessariamente V − A + F = 2. Demonstração Considere um poliedro convexo P, tal que V é o número de vértices, A é a quantidade de arestas e F é de faces. Suponhamos que a face desse poliedro são triângulos, caso não seja, por meio de diagonais obtemos as faces triangulares sem alterar o número V - A + F; porque a quantidade de vértice continua sendo V e a cada aresta aumentada corresponde uma face aumentada, sendo assim, arestas e faces se cancelam. Utilizaremos também uma esfera E de raio r e centro O. Tal que O é o interior do poliedro convexo P. Fazendo a projeção radial do poliedro P sobre a esfera E, a mesma ca recoberta de F triângulos, que chamaremos de triângulos esféricos, com um total 5 de V vértices e A lados (arestas). Observe que a projeção radial do triângulo T sobre a esfera E nos fornece o triângulo esférico t. (Veja a gura 1.4) Figura 1.4: Triângulo esférico A soma dos ângulos internos, medidos em radianos de um triângulo esférico, foi demonstrada em 1629, pelo geômetra francês Albert Girard. A fórmula é essa: α+β+γ =π+ a r2 onde, a é a área do triângulo e r é o raio da esfera. Legendre se fundamentou nessa fórmula para demonstrar o teorema de Euler. Se a esfera E foi decomposta em F triângulos esféricos, com um total de V vértice e A lados (arestas). A fórmula de Girard vale para cada um desses triângulos esféricos t. St = π + at r2 onde, St é a soma dos ângulos e at é a área do triângulo esférico t. Temos então: St = πF + at r2 (∗) Observe que a soma dos ângulos em torno de cada vértice do triângulo esférico t é igual a 2π . Logo, St = 2πV ainda temos que at = 4πr2 que é a área da superfície esférica sendo assim, podemos 6 reescrever (*) da seguinte forma: 2πV = πF + 4πr2 r2 2V − F = 4(∗∗) Iremos também relacionar a quantidade de faces F dos triângulos esféricos e o número de lados A dos mesmos triângulos. Observe que cada lado desses triângulos corresponde ao lado do outro. Daí temos: 3F = 2A F = 2A − 2F (∗ ∗ ∗) Substituindo (***) em (**) obtemos a seguinte relação: 2V − F = 4 =⇒ 2V − 2A + 2F = 4 =⇒ V − A + F = 2 que é a relação de Euler. Exemplo 1.2.2. Um poliedro convexo tem 6 faces triangulares e 4 faces hexagonais. Quantas arestas e quantos vértices tem esse poliedro? Solução: Calculando a quantidade de arestas: Como o poliedro tem 6 faces triangulares e cada uma dessas faces tem 3 arestas, temos: 6 × 3 = 18 O poliedro tem 4 faces hexagonais e cada uma dessas faces tem 6 arestas: 4 × 6 = 24 Como cada aresta foi contada 2 vezes, o número total de aresta é: A= Temos então F = 10, A = 21 Aplicando a relação de Euler: V + F = A + 2 → V + 10 = 21 + 2 → V = 13 18+24 2 → A = 21 Portanto o poliedro tem 21 arestas e 13 vértices. 7 1.3 Poliedros convexos - Propriedade Giovanni e Bonjorno, 1992, relacionam os vértices do poliedro com a soma dos seus ângulos internos das suas faces como uma propriedade. Aqui iremos considerar como um teorema. Teorema 1.3.1. A soma dos ângulos internos de todas as faces é dada por: S = (V − 2) × 360o , onde V é o número de vértices e S é a soma dos ângulos. Considere: V = O número de vértices do poliedro A = O número de arestas do poliedro F = O número de faces do poliedro Iremos agora contar a quantidade de arestas deste poliedro, da seguinte forma: X1 = número de lados da face 1 X2 = número de lados da face 2 X3 = número de lados da face 3 ... XF = número de lados da face F Temos: X1 + X2 + X3 + ... + XF = 2A, porque cada aresta da face foi contada duas vezes. Demonstração: Sabendo que a soma dos ângulos internos de um polígono é Si = (n − 2)180o , temos então que a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro é: S = (X1 − 2).180o + (X2 − 2).180o + (X3 − 2).180o + ... + (XF − 2).180o S = (X1 + X2 + X3 + ... + XF ).180o − F.360o Substituindo X1 + X2 + X3 + ... + XF por 2A, note que: S = (A − F ).360o (∗) 8 Agora, fazendo uso da Relação de Euler, temos: V −A+F =2 V − 2 = A − F (∗∗) Substituindo (∗∗) em (∗) temos: S = (A − F ).360o S = (V − 2).360o como queríamos demonstrar. Exemplo 1.3.2. Determine a soma dos ângulos das faces de um prisma cuja base é um pentágono. Mostraremos duas soluções para este exercício de exemplo, recorrendo ao GeoGebra na primeira solução; porque utilizaremos recursos do programa que será apresentado na resolução do exercício, que facilitará a compreensão dos alunos diante da pergunta. Em seguida, partiremos para segunda solução, que é algébrica, pois o aluno terá a oportunidade de visualizar esses cálculos da solução. Figura 1.5: Ângulos internos de um prisma pentagonal 9 Solução 1: A gura 1.5 é um prisma pentagonal, o valor dos ângulos formados pelas arestas do polígono ABCDE, que é base do prisma, é de 108o . Isto é vericado utilizando o comando de medir ângulos que está localizado no décimo primeiro ícone da barra de ferramentas, na gura o ícone está marcado de vermelho. Como o polígono ABCDE é congruente ao polígono FJIHG, temos então 10 ângulos de 108o . Pelo fato do prisma ter uma base pentagonal, o mesmo possui 5 faces laterais congruentes, que são as faces ABJF, BCIJ, CDHI, EDHJ e AEGF. Utilizando o ícone de medir ângulos, temos que os ângulos internos da face lateral é de 90o . Sendo assim, temos 20 ângulos de 90o . Portanto, a soma dos ângulos das faces (incluindo as bases) do prisma pentagonal é de 2880o . Solução 2: algébrica Se o poliedro dado é um prisma de base pentagonal, ele apresenta: • 2 bases e 5 faces laterais, num total de 7 faces; • 5 arestas em cada base e 5 arestas laterais, sendo assim um total de 15 arestas. • Aplicando a relação de Euler, temos: V + F = A + 2 → V + 7 = 15 + 2 → V = 10 • Aplicando a fórmula da soma, temos: S = (V − 2) × 360o → S = (10 − 2) × 360o → S = 8 × 360o → S = 2880o . • Resposta: A soma dos ângulos do prisma é 2880o 1.4 Poliedros regulares Denição 1.4.1. Um poliedro convexo é regular, quando todas as suas faces são polígonos regulares e a quantidade de arestas que convergem para o vértice é igual. 10 Um polígono é regular quando todos os seus lados são iguais, isto é, congruentes, e todos os seus ângulos internos são iguais. Teorema 1.4.2. Existem apenas cinco poliedros regulares convexos Considere um poliedro regular tal que: α = Número de lados de cada face do poliedro θ = Número de arestas que convergem para cada vértice do poliedro Sendo assim temos: 2A = αF = θV Demonstração: Note que: A= αF 2 αF θ e V = Substituindo esses valores na relação de Euler temos: V − A + F = 2 =⇒ αF θ − αF 2 + F = 2 =⇒ F = 2α α− 2 4θ 2α−αθ+2θ Precisamos ter 2α + 2θ − αθ > 0 =⇒ θ < Como α ≥ 3 =⇒ θ < 6, Daí temos: Para α = 3 =⇒ 3 ≤ θ < 6, Sendo Assim: • Se θ = 3 =⇒ F = 4 =⇒ T etraedro • Se θ = 4 =⇒ F = 8 =⇒ Octaedro • Se θ = 5 =⇒ F = 20 =⇒ Icosaedro Para α = 4 =⇒ 3 ≤ θ < 4 , isso implica: Se θ = 3 =⇒ F = 6 =⇒ Cubo 11 Para α = 5 =⇒ θ = 3 =⇒ F = 12 =⇒ Dodecaedro. Logo, a gura abaixo representa os cinco poliedro regulares. Figura 1.6: Poliedros regulares Na gura, foi utilizado o software GeoGebra para apresentar esses poliedros aos alunos, porque a visualização desses sólidos é melhor no programa por causa das cores, das construções dos poliedros serem mais rápidas e a contagem das faces, arestas e vértices dos sólidos é mais fácil. Logo, é interessante para o professor apresentar esses poliedros regulares aos alunos utilizando esse recurso. 12 Capítulo 2 Alguns Poliedros 2.1 Prismas Nesta seção, estudaremos sobre o prisma, mas antes de iniciarmos serão apresentados alguns comandos básicos do GeoGebra para a construção de prismas. Para construirmos quaisquer prismas no GeoGebra clicamos no menu exibir, em seguida escolhemos a opção de janela de visualização 3D, porque o prisma aparecerá nesta janela. Figura 2.1: Construção de prisma (1) Em seguida, clicamos no quinto ícone da barra de ferramentas e depois na opção polígono, se desejarmos um polígono não regular. Caso contrário, escolha a opção polígono regular. Escolheremos a opção polígono regular. Como está na gura acima. Selecionaremos dois pontos da janela de visualização, na sequência aparecerá a op13 ção de escolher a quantidade de vértices. Serão escolhidos 5 vértices, logo construíremos um polígono pentagonal e consequentemente o prisma que iremos construir terá um pentágono como base (Veja a gura 2.2). Figura 2.2: Construção de prisma (2) Depois, clicamos na janela de visualização 3D, e também no nono ícone da barra de ferramentas que está marcado pelo círculo vermelho, em seguida selecionaremos a opção prisma (Veja a gura 2.3). Figura 2.3: Construção de prisma (3) Após esses procedimentos, marcamos os cinco pontos da janela 3D, e clicamos na altura desejada, nessa situação a altura é o ponto J(0,0,4), que é o ponto que está 14 marcado de vermelho (veja a gura 2.4). Figura 2.4: Construção de prisma (4) Denição 2.1.1. As regiões limitadas por paralelogramos assim determinados, juntamente com as regiões poligonais ABCDE e A B C D E , determinam um poliedro chamado prisma de bases ABCDE e A B C D E (Dante, 2013). Figura 2.5: Prisma 15 2.1.1 Elementos do prisma O Prisma é um sólido geométrico limitado por faces planas. Os seus elementos estão na gura abaixo: Figura 2.6: Elementos do prisma As bases são polígonos congruentes. As faces laterais são paralelogramos. A distância entre as duas bases é a altura do prisma e é indicado pela letra h. O prisma recebe o nome de acordo com o número de lados do polígono da base. BASES SÃO Triângulos Quadrilátero Pentágonos Hexágonos Heptágonos E assim por diante Sendo assim, temos: NOME DO PRISMA Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal Heptagonal ... 16 Figura 2.7: Exemplos de prismas e seus respectivos nomes 2.1.2 Prisma reto e prisma oblíquo Um prisma pode ser reto ou oblíquo. Denição 2.1.2. O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. O prisma é oblíquo quando as suas arestas laterais formam com as arestas da base ângulos menores que 90◦ (Giovanni e Bonjorno, 1992). Figura 2.8: Prismas: reto e oblíquo Podemos conrmar essa denição no GeoGebra utilizando o recurso de medir ângulos, que já foi citado anteriormente. 17 2.1.3 Planicação de um prisma Fazer a planicação de um prisma, que é uma gura geométrica tridimensional, é torná-la numa gura geométrica bidimensional, isto é, plana. Quando o professor realiza este conceito utilizando apenas o quadro negro, muitos alunos não conseguem compreender a ideia que está sendo executada, gerando muitas dúvidas, o que faz com que novos conceitos que necessitam dessa ideia de planicação se tornem mais difíceis de apreender. Para minimizar esse problema, fazemos uso da tecnologia. Nesta situação, o GeoGebra, que tem um recurso muito interessante, a planicação. Figura 2.9: Comandos básicos para planicação Em seguida, selecionamos o sólido e clicamos com o botão direito no controle deslizante e escolhemos a opção animar. Figura 2.10: Animando a planicação de um prisma 18 Depois que aprendemos a fazer uma animação da planicação de um sólido geométrico no Geogebra, podemos então planicar um prisma hexagonal ou qualquer outro prisma. O professor, fazendo essa planicação na aula, através do software, a aula se torna mais interessante, porque o aluno vê a transformação da gura tridimensional para bidimensional. E nesta situação vale o seguinte ditado popular "uma imagem vale mais que mil palavras." Figura 2.11: Animação do prisma hexagonal 19 2.1.4 Casos particulares - Paralelepípedo e Cubo Os paralelepípedos são casos particulares de prismas e qualquer uma de suas faces podem ser uma base, pelo fato do paralelepípedo ser constituído de faces paralelas e opostas que são ligadas por arestas paralelas umas com as outras. Como ilustra a gura abaixo. Figura 2.12: Exemplos de paralelepípedos O paralelepípedo possui três dimensões que são: comprimento, largura e altura, no qual essas medidas serão indicadas por a, b e c, respectivamente. Quando essas medidas são iguais, isto é, a = b = c, o paralelepípedo é denominado cubo. Observe que na gura 2.13, na janela de álgebra, podemos vericar algumas propriedades do cubo. Por exemplo, na parte que está marcada com retângulo vermelho, observamos que as arestas tem a mesma medida, que neste caso é igual a 4. Uma outra propriedade do cubo são as seis faces possuirem áreas iguais, que nesta situação é 16. Isso é vericado na região que está marcada com o retângulo da cor verde. Figura 2.13: Cubo 20 Denição 2.1.3. Os paralelepípedos são denidos como prismas nos quais as suas faces são paralelogramos (Dante, 2013). Quando as faces são retângulos e as faces opostas são congruentes denomina-se um paralelepípedo retângulo. • Paralelepípedo retângulo - cálculo da diagonal No paralelepípedo abaixo de dimensões a,b e c, temos: Figura 2.14: Diagonal do paralelepípedo x = medida da diagonal do polígono ABCD (Base) d = medida da diagonal do paralelepípedo • O triângulo ADB é retângulo em A, logo, podemos utilizar a relação de Pitágoras: x2 = a2 + b2 chamaremos esta de equação I. • O triângulo DHB é retângulo em D, logo, também é permitido utilizar a relação de Pitágoras: d2 = x2 + c2 Chamaremos esta de equação II. • Substituindo I em II, temos: d 2 = x 2 + c 2 = a2 + b 2 + c 2 → d = √ a2 + b 2 + c 2 Portanto a diagonal de um paralelepípedo é: d= √ a2 + b 2 + c 2 21 • Cubo - cálculo da diagonal Como o cubo é um caso partícular do paralelepípedo reto retangular (a = b = c) Figura 2.15: Diagonal do cubo temos: d= √ √ √ a2 + a2 + a2 = 3a2 = a 3 √ d=a 3 Logo, a diagonal do cubo é: d = a 3 √ 2.1.5 Áreas - Paralelepípedo e Cubo • Cálculo da área total do paralelepípedo Observe que do lado esquerdo da gura 2.16, temos as faces do paralelepípedo e as suas respectivas áreas. Analisando esses dados, podemos armar que a área da face ABCD é igual a EFGH, a área da face ABFE é igual a CDHG, e a área da face ADHE é igual a BCGF. Sendo assim, podemos determinar uma fórmula que relaciona a área com as medidas das arestas do paralelepípedo. 22 Figura 2.16: Área do paralelepípedo temos: • dois retângulos de dimensões a e b → A1 = ab • dois retângulos de dimensões a e c → A2 = ac • dois retângulos de dimensões b e c → A3 = bc Então: At = 2A1 + 2A2 + 2A3 → At = 2(A1 + A2 + A3 ) → At = 2(ab + ac + bc) Portanto a fórmula da área total de um paralelepípedo é: At = 2(ab + ac + bc) • Cálculo da área total do cubo O cubo é um caso particular de um paralelepípedo, logo as suas dimensões: comprimento, largura e altura são iguais, observe a gura 2.16. Sendo assim, temos: At = 2(ab + ac + bc) mas como a = b = c logo: At = 2(aa + aa + aa) → At = 2(3a2 ) → At = 6a2 Logo, a área total de um cubo é: At = 6a2 23 2.1.6 Volumes - Paralelepípedo e Cubo • Cálculo do volume V de um paralelepípedo Considere um paralelepípedo retangular de arestas X , Y e Z . E um cubo unitário de arestas iguais a 1. Figura 2.17: Volume de um paralelepípedo X,Y,Z ) será chamado de volume do paralelepípedo (V ). Isto é, A razão entre SS((1 ,1,1) quantos cubos unitários cabe no paralelepípedo de arestas X , Y e Z ? Para responder a essa pergunta, temos os seguintes sólidos: S (X, Y, Z ), S (X, Y, 1), S (X, 1, 1) e S (1, 1, 1). Veja a gura abaixo: Figura 2.18: Decomposição de um paralelepípedo 24 Note que: S (X, Y, Z ) Z = (∗) S (X, Y, 1) 1 S (X, Y, 1) Y = (∗∗) S (X, 1, 1) 1 S (X, 1, 1) X = (∗ ∗ ∗ ) S (1, 1, 1) 1 Multiplicando membro a membro (∗), (∗∗) e (∗ ∗ ∗). Temos: S (X, Y, Z ) S (X, Y, 1) S (X, 1, 1) Z Y X . . = . . S (X, Y, 1) S (X, 1, 1) S (1, 1, 1) 1 1 1 S (X, Y, Z ) = Z.Y.Z S (1, 1, 1) V = X.Y.Z Concluindo que: 1o ) O volume de um paralelepípedo é o produto das suas três dimensões (comprimento, largura, altura) 2o ) Se as medidas X e Y são as dimensões (comprimento e largura) da base do paralelepípedo, podemos enunciar o seu volume desta forma: "O volume de um paralelepípedo retangular é o produto da área da base pela medida da altura." Isto é: V = Ab .h onde: Ab = área da base h = altura 25 • Cálculo do volume de um cubo Se a = b = c =⇒ V = abc =⇒ V = aaa =⇒ V = a3 Portanto o volume de um cubo é: V = a3 2.1.7 Áreas da superfície de um prisma • Área da base (Ab ): É a área de uma das superfícies das bases do prisma. • Área lateral (Al ): É a soma de todas as áreas das superfícies laterais de um prisma. • Área total (At ) : É a soma das áreas das bases com a área lateral, isto é: At = Al + 2Ab Exemplo 2.1.4. Dado um prisma reto de base hexagonal (hexágono regular), cuja altura é h = 3 m e cujo raio do círculo que circunscreve a base é r = 2 m. Calcule a áreal da base, a área lateral e a área total do prisma. Solução: √ Figura 2.19: Ilustrando o problema 26 Cálculo da área da base (Ab ) No quadro I temos a base do prisma circunscrita em uma circunferência de R = 2m. Como a base do prisma é um hexágono regular, então o mesmo pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros, de lado igual ao raio da circunferência. Logo: √ √ a2 3 4 3 √ 2 A = = = 3m 4 4 Portanto a área da base é: √ Ab = 6A = 6 3m2 Cálculo da área lateral (Al ) Pelo fato do prisma ser regular, sabemos que as faces laterais são iguais e nesta situação são retângulos. Logo, a área do retângulo (Ar ) é: √ Ar = 2 3m2 Como podemos observar a planicação do prisma no quadro III. Temos então seis retângulos constituindo a área lateral, logo: √ √ Al = 6Ar = 6 × 2 3 = 12 3m2 Cálculo da área total (At ) √ √ √ At = Al + 2Ab → At = 12 3 + 2 × 6 3 → At = 24 3m2 Resposta: a) 6 3 m2 b) 12 3 m2 c) 24 3 m2 √ √ √ 2.1.8 Princípio de Cavalieri O princípio de Cavalieri ou postulado de Cavalieri (Francesco Bonaventura Cavalieri, 1598 - 1647) é muito útil na geometria espacial. Através deste princípio, podemos mostrar o volume de alguns poliedros. Sendo assim, a nossa ideia não é demonstrar esse postulado e sim de aplicá-lo na "demonstração"dos volumes de alguns sólidos como: prisma, pirâmides, cilindros, cones e esferas. 27 A denição que irei utilizar está no livro "A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, volume 2, autores: Elon L., Paulo C., Eduardo W. e Augusto C. da editora SBM ." Denição 2.1.5. São Dados dois sólidos e um plano α. Se todo plano β paralelo ao plano α secciona os dois sólidos segundo guras de mesma área, então esses sólidos têm o mesmo volume. Figura 2.20: Princípio de Cavalieri 2.1.9 Volume de um prisma Dados os prismas da gura abaixo. Figura 2.21: Volume de um prisma 28 Iremos demonstrar o volume de um prisma: Considere o paralelepípedo S1 e o prisma S2 , ambos de mesma altura h. A área da base de S1 é igual a A1 = Ab e a área da base de S2 é igual a A2 = Ab . Estes sólidos estão com as suas bases no plano α. Qualquer plano β paralelo a α que secciona o sólido S1 , também secciona o sólido S2 . E os polígonos A1 e A2 são respectivamentes congruentes as bases. Daí temos: (A1 = A1 , A2 = A2 , A1 = A2 = Ab ) =⇒ A1 = A2 Logo, pelo princípio de Cavalieri, o prisma S2 e o paralelepípedo S1 tem volumes iguais. V (S2 ) = V (S1 ) Note que: V (S1 ) = Ab h =⇒ V (S2 ) = Ab h Sendo assim, o volume de um prisma é o produto da área da base pela medida da altura. Isto é: V = Ab h 29 2.2 Pirâmide Há um provérbio árabe que faz referência às pirâmides. "O homem teme o Tempo, e ainda o tempo teme as Pirâmides." Disponível em http://misteriosdomundo.org/cientistas-nalmente-explicam -como-as-piramides-do-egito-foram-construidas/. Acesso em 16/06/2016. Figura 2.22: Pirâmides do Egito As pirâmides do Egito são construções que despertam a curiosidade humana, e a mais famosa é a pirâmide de Quéops. Sua altura é de 137 m e sua base é aproximadamente 230 m. Denição 2.2.1. Dado um polígono, por exemplo, ABCDE pertencente ao plano α e o vértice V fora de α, de modo que se traçarmos os segmentos de reta VA, VB, VC, VD e VE, teremos os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA e juntarmos esses triângulos com o polígono ABCDE formaremos assim então, um poliedro denominado pirâmide de base ABCDE e vértice V (Dante, 2013). Figura 2.23: Pirâmide 30 2.2.1 Elementos da pirâmide A gura abaixo nos mostra os elementos da pirâmide. Figura 2.24: Elementos da pirâmide 2.2.2 Pirâmide regular Denição 2.2.2. Uma pirâmide se diz regular quando a projeção ortogonal do vértice V cai no centro da base que é um polígono regular (Dante, 2013). Figura 2.25: Pirâmide regular Na pirâmide regular é bom destacar: • apótema da pirâmide que é indicado por ap , que é também a altura da face lateral da pirâmide. 31 • apótema da base que é indicado por ab . portantes, são eles: V M A, AM O, V OM, AOV . Nesses triângulos, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar muitos problemas sobre pirâmide regular. Observação: Na pirâmide regular acima, temos quatro triângulos retângulos im- 2.2.3 Áreas da superfície de uma pirâmide Da mesma forma que foi visto no prisma ocorre na pirâmide. Superfície lateral: são as faces laterais (triangulares) Área lateral: é a área da superfície lateral Superfície total: são as faces laterais e a base Área total: é a área da superfície total 2.2.4 Volume de uma pirâmide Denição 2.2.3. O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base 1 pela sua altura, isto é, V = 3 Ab h.(Dante - 2013) Utilizaremos o prisma reto de base triangular e o GeoGebra como recurso pedagógico, fazendo assim a decomposição desse sólido em pirâmides. "Demonstração" Figura 2.26: Volume de um prisma 32 Esse prisma tem volume igual a 77,94 , isto é vericado na janela de álgebra onde está marcado de vermelho o volume. Fazendo a sua decomposição, temos três pirâmides, a pirâmide 1 de base ABC e vértice E. A pirâmide 2 de base ACE e de vértice D. A pirâmide 3 de base DCE e vértice F. Como está representado na gura: Figura 2.27: Volume de um prisma decomposto em três pirâmides E as pirâmides 1, 2 e 3 têm volumes iguais a 25,98 , que está circulado de vermelho na janela de álgebra. Daí podemos notar que: 77, 94 = 25, 98 + 25, 98 + 25, 98 Sendo V = volume do prisma e Vp = volume da pirâmide, temos: V = Vp + Vp + Vp → V = 3Vp → Vp = V 3 Logo, Vp = Ab × h 3 Claro que não é uma demonstração formal da fórmula de volume de uma pirâmide, é a utilização do recurso tecnológico Geogebra para facilitar a compreensão do aluno 33 diante de um novo conceito. Posteriormente, o professor pode fazer a demonstração da fórmula com o rigor matemático necessário. 2.2.5 Área total e volume de um tetraedro Denição 2.2.4. O sólido geométrico que tem no total quatro faces, é uma pirâmide de base triangular chamada de Tetraedro. Quando as suas faces são congruentes e triângulos equiláteros, a pirâmide é chamada de Tetraedro regular (Giovanni e Bonjorno - 1992). Figura 2.28: Tetraedro não regular Quando apresentamos esse tetraedro aos alunos, podemos utilizar o software para comparar a denição com o sólido geométrico da seguinte forma: A gura possui quatro triângulos ABC, ABD, ACD, BCD. Na janela de álgebra no retângulo que está marcado de vermelho, temos quatro números que representam a área de cada uma das faces do tetraedro. São quatro triângulos que possuem áreas diferentes umas das outras. Temos também no retângulo da cor verde, do lado esquerdo da gura, os ângulos internos das faces ABD e BCD do tetraedro. Analisando esses ângulos e as áreas das faces, podemos armar que essas faces não são congruentes. Concluímos então que as faces desse tetraedro são diferentes. E, de acordo com a denição, esse tetraedro não é regular, pois as suas faces não são congruentes. 34 A gura representa um tetraedro regular e vamos utilizá-la para calcular a altura desse sólido. Altura do tetraedro regular Figura 2.29: Tetraedro regular temos: Apótema√da pirâmide é a altura da face lateral, isto é, do triângulo equilátero, ou seja, ap = a 2 3 . ultilizaremos a letra h para indicar a altura do tetraedro e a letra a para indicar a medida das arestas. O ponto G é a intersecção das medianas da face ABC (base), o que implica que G é o baricentro desse triângulo. Esse ponto divide a mediana em duas partes na razão de 1 e2 . Isso é visto do lado esquerdo da gura na janela de álgebra, no círculo verde. 3 3 Sendo assim, podemos armar que: MG = 1 a 3 p 2 GC = 3 ap Analisando o triângulo retângulo MGD e aplicando Pitágoras, temos: √ √ a 3 2 a 3 2 ) =( ) + h2 ( 2 2 35 √ 8 a 3 2 ) h = ( 9 2 2 2a2 3 √ a 6 h= 3 h2 = Sendo assim, a altura do tetraedro é h = √ a 6 3 Como as quatro faces são triângulos equiláteros, basta multiplicar a área de uma dessas faces por quatro: √ a2 3 At = 4 4 √ At = a2 3 Área total do tetraedro regular - At Logo, a área do tetraedro é At = a2 3 √ Como o tetraedro é um caso particular de pirâmide, temos que o seu volume pode × Ab × h. Sendo assim, mostraremos uma fórmula ser calculado pela fórmula V = 1 3 especíca para calcular o volume do tetraedro. √ Sabemos que altura do tetraedro regular é a 3 6 e que a sua base é um triângulo equilátero de lado a. Logo o seu volume é: V = 1 3 Volume do tetraedro regular - V × Ab × h → V = 1 3 × √ a2 3 4 × √ a 6 3 →V = √ a3 2 12 √ 3a3 . 2 3.12 →V = √ a3 2 12 Portanto, o volume do tetraedro é V = 36 2.3 Cilindro O cilindro é um sólido geométrico muito comum na sociedade contemporânea, pois existem muitos exemplos na construção civil, em reservatórios e nas embalagens de refrigerantes. Disponível em http://misteriosdomundo.org. Acesso em 16/06/2016. Figura 2.30: Cilindros no cotidiano Denição 2.3.1. "Considere dois planos α e β , distintos e paralelos, e um segmento de reta MN com M pertecente a α e N pertencente a β . Dado um círculo C de centro O e raio r, contido em α, chamamos cilindro circular (ou simplesmente cilindro) à reunião de todos os segmentos de reta, paralelos e congruentes ao segmento MN, que unem um ponto do círculo C a um ponto de α. No caso de MN ser perpendicular a α, o cilindro é reto'. ( Dante, 2013 ) Figura 2.31: Denição de um cilindro O cilindro é formado por uma superfície "arrendondada", que é a superfície lateral, e por dois círculos congruentes que são as bases. A altura do cilindro é a distância entre as bases. 37 Uma outra forma de obter o cilindro é girando um retângulo ABCD, em torno de uma reta que contém um de seus lados, CD. Esse cilindro pode ser chamado também de cilindro de revolução. Figura 2.32: Construção de um cilindro de revolução 2.3.1 Área da superfície de um cilindro Figura 2.33: Cilindro planicado Na gura 2.33 temos o cilindro de altura h e circunferência d de raio r. Do lado direito da gura, o cilindro está planicado, possuindo duas circunferências, que são as 38 bases, e um quadrilátero CDEF, que é a superfície lateral. No quadrilátero, temos a largura h, que é a altura do cilindro, e comprimento 2π r, que é o tamanho linear da circunferência d. Essa armação é possível mostrá-la no GeoGebra através do recurso animar. Quando utilizamos este recurso com o ponto A, ele se move na circunferência. Quando é utilizado no ponto B, o mesmo se move do lado CD do quadrilátero. Se esses pontos possuirem coordenadas iguais, isto é, partindo do mesmo lugar que neste caso é o ponto C do quadrilátero, esses pontos se movem com a mesma velocidade e chegam ao ponto de partida no mesmo instante. O que nos leva a concluir tal armação (CD = 2π r). Observe então, que o lado CD = 12,57 é o comprimento da circunferência de d = 12,57. A área total do cilindro é formada pela área lateral e pelas áreas das duas bases. Sendo assim: Área lateral: Al = (2πr)h = 2πrh =⇒ Al = 2πrh Área da base: Ab = πr2 Área total: At = Al + 2Ab = 2πrh + 2πr2 → At = 2πr(h + r) 2.3.2 Volume do cilindro Para trabalharmos com o volume de cilindro, faremos uso de alguns recursos do GeoGebra. Na gura 2.34, temos um prisma e um cilindro. Utilizando o ícone de medir área, poderemos calcular a área da base do prisma e do cilindro. A base-P signica a base do prisma e sua área é igual a 9. A base-C signica a base do cilindro e sua área é igual a 9. Portanto, as bases são equivalentes. Agora, iremos utilizar o ícone (Distância, comprimento ou perímetro) para medir a altura do prisma e do cilindro. Fazendo isso, temos do lado esquerdo da gura na janela de álgebra um retângulo vermelho que está marcando os segmentos BA = 4, que é a altura do prisma e o segmento CD = 4, que é a altura do cilindro. Logo, o prisma 39 Figura 2.34: Volume do cilindro e o cilindro têm a mesma altura. Utilizando agora o ícone (Volume), iremos calcular o volume do prisma e do cilindro. VP é o volume do prisma e VP = 36. VC é o volume do cilindro e VC = 36. Sendo assim, VC = VP . Daí então, podemos comentar sobre o princípio de Cavalieri, concluindo que: Volume do cilindro = volume do prisma Volume do cilindro = Área da base × altura Como a base do cilindro é um círculo de raio r e área πr2 . Temos: Logo, o volume de um cilindro é o produto da área da base pela medida da altura. Isto é: V = πr2 h Volume do cilindro: V = πr2 h 40 2.4 Cone O cone é um sólido geométrico muito presente no dia a dia. Exemplos: na blitz a polícia militar faz uso desse sólido; uma outra utilização para esse sólido é a biruta, que indica a posição do vento. E temos também a casquinha de sorvete. Veja as guras abaixo: Disponível em http://misteriosdomundo.org. Acesso em 16/06/2016. Figura 2.35: Cones Denição 2.4.1. Considere um plano α, uma região circular R nesse plano e um ponto P não pertencente a α. A reunião de todos os segmentos que ligam cada ponto de R ao ponto P é um sólido chamado cone circular. (Dante,2013) Figura 2.36: Denição de um cone O cone também pode ser obtido através de uma rotação de uma região triangular em torno de uma reta que contém um dos seus catetos. Quando obtemos esse sólido dessa forma ele é chamado cone de revolução. 41 Figura 2.37: Rotação de um cone O cone possui superfície lateral arrendondada, vértice e base, conforme a gura: Figura 2.38: Elementos de um cone 2.4.1 Área da superfície de um cone reto Na gura 5.6 temos que a altura (h) , raio (r) e a geratriz (g) formam um triângulo retângulo. Logo podemos armar que g 2 = r2 + h2 , pelo Teorema de Pitágoras. 42 Figura 2.39: Relação entre altura, raio e getratriz Agora, calcularemos a área da superfície de um cone utilizando a gura abaixo: V = vértice h = altura r = raio g = geratriz Figura 2.40: Cone planicado e montado A superfície total de um cone é constituída da superfície lateral (setor circular) mais a superfície da base (que é uma circunferência). Isto é: AT = AL + Ab , onde: AT = área total ; AL = área lateral ; Ab = área da base. • Área lateral - AL A área lateral de um cone é proporcional a área do círculo correspondente. Sendo assim, a geratriz é igual ao raio desse círculo. Daí então, temos: 2πR πR2 = =⇒ AL = πrR =⇒ AL = πrg AL 2πr 43 A área da base é a área do círculo de raio r: AB = πr2 • Área total - AT A área total é a área lateral mais a área da base. Isto é: AT = AL + AB =⇒ AT = πrg + πr2 =⇒ AT = πr(g + r) 2.4.2 Volume de um cone Nesta seção, iremos estudar como se calcula o volume de um cone. Para isso, recorreremos ao GeoGebra e à pirâmide, que já foi estudada. Figura 2.41: Volume de um cone Na gura 2.41 temos a pirâmide e o cone. A altura da pirâmide é igual a altura do cone (isso é fácil de vericar utilizando o ícone Distânica, comprimento ou perímetro). Na janela de álgebra, esses valores estão marcados de vermelho. A área da base da pirâmide é igual a área da base do cone, para isso foi utilizado o ícone de medir área. E o volume da pirâmide é igual ao volume do cone (o ícone utilizado para esse cálculo foi o volume). Nesse momento, é interessante o professor utilizar o princípio de Cavaleri para armar que o volume do cone é igual ao volume da pirâmide. Logo, podemos armar que o volume do cone é igual a um terço do produto da área da base pela sua altura. Isto é: VC = 1 × Ab × h 3 44 Como a base do cone é um círculo, temos que Ab = πr2 . Logo, 1 VC = πr2 h 3 2.5 Esfera Denição 2.5.1. Consideremos um ponto C e um segmento de medida R. Chama-se esfera de centro C e raio R ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância CP seja menor ou igual a R. ( Dolce e Pompeo, 2013) Figura 2.42: Denição de uma esfera Sendo que: C = Centro da esfera CP = Raio da esfera R = Medida do raio da esfera AP = Diâmetro da esfera 45 2.5.1 Volume de uma esfera Para mostrarmos a fórmula do volume de uma esfera, utilizaremos o Geogebra para nos auxiliar. Quero lembrar ao leitor que não tenho o intuito de demonstrar a fórmula de volume seguindo os rigores matemáticos. Porém, é interessante que o professor possa, em um outro momento, demonstrar essa fórmula seguindo os cuidados que a Matemática exige. Figura 2.43: Volume de uma esfera Na gura acima, temos um cilindro e uma esfera. A altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. No ponto médio da altura do cilindro a letra v indica o vértice comum dos dois cones, como é ilustrado na gura. Na janela de álgebra, o retângulo da cor verde indica o volume destes sólidos: volume da esfera que é igual 33,51 , volume do cone 1, que é igual a do cone 2, que é 8,38. E o volume do cilindro, que é igual a 50,27. Se fazermos a diferença do volume do cilindro pelo volume dos dois cones (1 e 2) temos o volume igual a 33,51, que é justamente o volume da esfera. Sendo assim, temos: volume da esfera (VE ) é igual ao volume do cilindro menos duas vezes o volume do cone. Logo, VE = 2πR2 R − 2 πR2 R 4πR3 =⇒ VE = 3 3 46 2.5.2 Área de uma superfície esférica Iremos demonstrar intuitivamente a fórmula de calcular a área de uma superfície esférica, utilizando o conceito de volume de uma esfera. A ideia principal da "demonstração"é construir nitas pirâmides na esfera, desde que essas nitas pirâmides sejam um número muito grande de pirâmide, suciente para cobrir toda a superfície da esfera. Observe na gura abaixo que foram construídas 3 pirâmides, e que podemos construir n pirâmides, tal que a área da base da pirâmide seja uma gura "plana". Isto é, um "polígono". Figura 2.44: Esferas Podemos reparar que a altura da pirâmide é o raio da esfera e que os "polígonos"formados na superfície esférica são as bases das pirâmides. Fazendo essas observações, podemos então dizer que a superfície esférica cou dividida em n polígonos, tal que n seja um número satisfatoriamente muito grande. E cujas áreas desses polígonos são A1 , A2 , A3 , ..., An . Como ilustrado na gura 2.45: Figura 2.45: Área de uma superfície esférica 47 Portanto, se o volume de cada "pirâmide"é: V = Ab h Ab R = 3 3 e sabendo que A1 + A2 + A3 + ... + An = A. Sendo A a área da superfície esférica, temos: Ve = A1 R A2 R A3 R An R + + + ... + 3 3 3 3 (A1 + A2 + A3 + ... + An )R 3 Ve = AR 4πR3 AR Ve = =⇒ = =⇒ A = 4πR2 3 3 3 Logo, a área da superfície esférica de raio R é: A = 4πR2 . 2.5.3 Área de um fuso esférico Denição 2.5.2. Um fuso esférico é uma parte da superfície esférica gerada pela rotação (de α graus ou radianos) de uma semicircunferência de raio R com as extremidades em um eixo. (Dante, 2013). De acordo com a denição de fuso esférico, surge a seguinte pergunta: Como calcular a área do fuso esférico? Para responder a essa pergunta, temos que a área do fuso é proporcional ao ângulo α , tal que, se α for 360o (ou 2π rad), tem-se a área da superfície esférica, isto é, 4πR2 . Logo, podemos determinar uma fórmula que permite calcular a área do fuso em função do raio R e do ângulo α para graus ou radianos. Dessa forma, temos que a área do fuso esférico (Af ) é: Figura 2.46: Área de um fuso esférico 48 Af α(graus) α(rad) = = 2 o 4πR 360 2π Trabalhando com as igualdades temos: α em graus Af = 4πR2 α παR2 = ⇒ A = f 360o 90o α rad Af = 4πR2 α =⇒ Af = 2R2 α 2π 2.5.4 Volume de uma cunha esférica Denição 2.5.3. Uma cunha esférica é uma parte da esfera, gerada pela rotação ( de α graus ou radianos) de um semicírculo de raio R com as extremidades em um eixo. (Dante, 2013). A gura abaixo ilustra essa denição de cunha esférica. Figura 2.47: Volume de uma cunha esférica O volume da cunha (VC ) é proporcional ao volume da esfera, e dá para escrever uma fórmula para encontrar o volume da cunha em função do raio R e do ângulo α em graus ou radianos. Daí temos a relação: 49 VC 4πR3 3 = α(graus) α(rad) = o 360 2π Trabalhando com as igualdades temos: α em graus απR3 270o VC = α rad 2αR3 3 VC = 50 Capítulo 3 Introdudução ao estudo de grupos utilizando o tetraedro 3.1 Simetrias de um tetraedro Nesta seção, iremos estudar a simetria do tetraedro. Para começarmos esse estudo, é necessário entendermos o conceito de simetria para depois responder a seguinte pergunta: Quantas simetrias o tetraedro possui? Para o nosso caso, simetria é a conservação das características da estrutura de um sólido geométrico de um determinado espaço qualquer, isto é, a simetria no tetraedro é uma cópia deste sólido preservando a sua estrutura geométrica original, com os seus lados, vértices e arestas trocados de posição no espaço. Tais posições são obtidas através de reexões e rotações, que são operações realizadas em eixos diferentes do tetraedro. Sendo assim, a cada operação que alterar a posição das faces, arestas e vértices terá ocorrido uma simetria. Analisando a gura 3.1 o tetraedro tem quatro eixos do tipo V. Isto implica que cada um destes eixos nos fornecem duas rotações de 23π , 43π no sentido anti-horário, sendo assim temos num total de 8 simetrias. Além destes eixos, existem três eixos do tipo A, que nos permite uma rotação de π em cada um deles, proporcionando assim mais 3 simetrias. E, por m, temos ainda uma rotação de 2π em qualquer um dos eixos que gera a simetria identidade. Logo, temos no total 12 simetrias rotacionais. 51 Figura 3.1: Eixos de rotação do tetraedro Já sabemos que o tetraedro possui 12 simetrias rotacionais, agora vamos fazer uma experiência. Enumerando os vértices do tetraedro T e aplicando as rotações r ( 23π em V) e depois a rotação s (π em A). E em seguida fazemos o inverso, veja o que obtemos: Figura 3.2: Aplicação de rotações r e s no tetraedro Percebe-se que essas rotações são movimentos rígidos, sendo que cada um possui um eixo xo que rotaciona o tetraedro T. As rotações r e s que zemos não se comutam entre si. Isto é, a posição dos vértices, arestas e faces estão trocados no espaço. Quando realizamos as rotações de π em torno de cada eixo do tipo A, obtemos 3 identidades, geometricamente percebemos que estas rotações do tetraedro comutam entre si. Com esse estudo, queremos mais informações sobre as simetrias e, para isso, não 52 basta somente contá-las. É importante analisar também o seu comportamento quando combinadas entre si. Logo, é necessário introduzir o conceito de Grupo de Simetria. São dadas duas rotações a e b de T, podemos combiná-las primeiro a e depois b produzindo assim uma nova rotação que também atua em T, rotacionando-o em torno de si mesmo. Podemos representar essa rotação por ab (Notação utilizada para composição usual de funções ). Existe uma rotação que tem um comportamento especial, chamaremos esta rotação de identidade e indicaremos por e. Que combinada independentemente da ordem com outra rotação a , o resultado sempre será a. Isto é, ae = a e ea = a para toda simetria a de T. Para cada rotação a existe uma rotação inversa de a que indicaremos por a−1 . A rotação inversa gera também uma simetria de T e satisfaz aa−1 = e = a−1 a Analisando agora três rotações a, b e c de T, e trabalhando com ab e depois com c ou, se operando a com bc o resultado sempre será a mesma rotação, isto é: (ab)c = a(bc) quaisquer que sejam a, b e c de T. O que zemos até este momento foi responder à pergunta: Quantas rotações que o tetraedro tem? Como vimos, são 12, colocamos essas rotações em um conjunto e utilizamos para este uma operação de composição de funções, neste caso rotações. E, com isso, conseguimos algumas propriedades dentro do conjunto. Que consiste em ser o Grupo de Simetria rotacional do tetraedro. Iremos formalizar essa estrutura de grupo na próxima seção. 3.2 Grupos Denição 3.2.1. Um conjunto G não vazio munido com uma operação é chamado de grupo quando satisfaz os três axiomas. 53 1) Associatividade Para quaisquer X , Y e Z ∈ G tem-se: X (Y Z ) = (X Y) Z 2) Existência de elemento neutro para quaisquer X ∈ G Existe um elemento neutro e tal que: X e=e X=X 3) Existência do elemento oposto para quaisquer X ∈ G existe um elemento oposto X −1 tal que: X X −1 = X −1 X = e Observação: Se o grupo satisfazer o axioma da comutatividade, isto é: X Y =Y X para quaisquer X , Y ∈ G. O grupo recebe o nome de grupo comutativo ou abeliano. Um grupo poderá ser indicado por (G, ), no qual, o símbolo sobre G. indica a operação 3.3 Grupos nitos Diz que um grupo (G, ) é nito em relação ao seu conjunto G que é nito. E quando um grupo (G, ) é nito, o número de elementos de G, determina a ordem do grupo (notação o(G)) e a tábua da operação se denomina tábua do grupo. Exemplo 3.3.1. G = (-1, +1) é um grupo multiplicativo. Sua ordem é 2 e indicamos por o(G) = 2 e sua tábua é: 54 Figura 3.3: Tábua de operação 3.4 Grupos de permutações Permutação na teoria de grupos é um termo especíco usado para indicar uma bijeção de um conjunto nele mesmo. O conjunto de todas as permutações de G gera ou forma um grupo SG com a composição de funções. i) Sabemos que a composta de uma bijeção é também uma bijeção. Observe então que f : G −→ G e h : G −→ G são bijeções. Logo, f ◦ h é também uma bijeção. ii) Sabemos também que a composição de funções é associativa e a função identidade IdG é o elemento identidade de SG iii) Por m, toda permutação f , que é uma bijeção possui uma inversa f −1 : G −→ G. Satisfazendo f f −1 = IdG = f −1 f . Se G possui n elementos tal que n ≥ 1, então SG será escrito como Sn e chamaremos de grupo simétrico de grau n. E a ordem de Sn é n! (n fatorial). Esse grupo é abeliano para 1 ≤ n ≤ 2. Mostraremos exemplo de S3 e S4 . Exemplo 3.4.1. Construa a tábua do grupo simétrico de grau 3. Solução Os elementos de S3 são:      1 2 3 1 2 3 1 2 3 f0 =   , f1 =   , f2 =  , 1 2 3 2 3 1 3 1 2  55      1 2 3 1 2 3 1 2 3 f3 =   , f4 =   , f5 =   3 2 1 1 3 2 2 1 3  Observemos como se obtém f1 ◦ f3 = f4      1 2 3 1 2 3 1 2 3 f1 ◦ f3 =  ◦ =  = f4 2 3 1 3 2 1 1 3 2  Note que a imagem de 3 pela composta se obtém da seguinte maneira: 3 −→ 1 −→ 2 . De maneira análoga, obtém-se as demais composições. Fazendo isso e colocando essas composições numa tábua, o resultado será o seguinte: Figura 3.4: Tábua de S3 Podemos utilizar também uma outra notação para indicar os elementos de S3 , nos casos em que n ≥ 3. Por exemplo, 56   1 2 3 4 5 6 Ψ=  3 4 1 6 5 2 Ψ = (13)(246) Essa notação não utiliza os inteiros xados na permutação. Podemos representar qualquer permutação da seguinte maneira: abrimos um parêntese e anotamos o menor inteiro que não esteja xado, em seguida anotamos a sua imagem e depois a imagem deste e assim por diante, fechemos o parêntese quando completarmos o ciclo. Abrimos outro parêntese e colocamos o menor inteiro não xado pela permutação que ainda não foi utilizado e repetimos o procedimento anterior. De acordo com essa nova notação, os elementos de S3 são: e, (123), (132), (13), (23), (12) Suponhamos agora que temos uma permutação do tipo (a1 a2 a3 ...ak ) sendo que a1 é levado a a2 , a2 é enviado a3 ,...ak−1 em ak e ak em a1 . Essa notação dentro do parêntese indica uma permutação cíclica. O comprimento da permutação cíclica é indicado pelo número k, e é este que determina se a permutação é par ou ímpar. Sendo assim, se conseguirmos escrever um elemento de Sn em forma de produto, como está representado abaixo: (a1 a2 a3 ...ak ) = (a1 ak )...(a1 a3 )(a1 a2 ) podemos armar que, se o comprimento de uma permutação cíclica é ímpar ela será uma permutação par. Denição 3.4.2. O conjunto de todas as permutações pares em Sn será chamado de grupo alternado de grau n, e será denotado por An . Para encontrar a ordem deste ! grupo basta fazer n . 2 Exemplo 3.4.3. Dado o grupo de simetria de grau 4. Mostre que esse grupo não é abeliano. Solução. Aqui estão alguns elementos de S4 são: e, (243), (234), (134), (143), (142), (124), (123), (132), (13)(24), (14)(23), (12)(34) Para que S4 seja um grupo abeliano é necessário que os seus elementos comutam entre si. Caso haja elementos que não comutam entre si, logo S4 não é abeliano. Veja 57 esta composição: (234) ◦ (143) = (123) (143) ◦ (234) = (142) Note que: (234) ◦ (143) = (143) ◦ (234) Logo, o grupo simétrico de grau 4 não é abeliano. 3.5 Isomorsmos Denição 3.5.1. Dados os grupos (G, ) e (J,•) eles serão isomorfos se existir uma aplicação bijetora que satisfaça f(x y) = f(x)•f(y), tal que x e y pertence a G. A função f é chamada de isomorsmo entre G e J, e denotaremos por G ∼ = J. Exemplo 3.5.2. Podemos buscar um isomorsmo entre o grupo de rotações do tetraedro ( G ) com o grupo alternado de grau 4(A4 ). O tetraedro tem 12 rotações e o A4 tem 12 permutações pares. Para relacionar esses dois grupos, iremos enumerar os vértices do tetraedro por 1, 2, 3 e 4 como está ilustrado na gura abaixo. Figura 3.5: Rotação que induz a uma permutação Observe que a rotação r induz a permutação dos 4 primeiros inteiros, por exemplo, a permutação cíclica (243), um outro exemplo é a rotação s que induz a permutação 58 cíclica (13)(24). Repetindo esse processo, obtemos todas as possibilidades, daí então temos os doze elementos de A4 . Logo, as rotações do tetraedro induz as permutações cíclicas. Sendo assim, elas se correspondem rotação simetria =⇒ permutação induzida mostrando que o grupo de rotações do tetraedro é isomorfo ao grupo alternado de grau 4. Isto é, G ∼ = A4 . 59 Capítulo 4 Considerações nais O trabalho com o Geogebra tem a capacidade de despertar o interesse do aluno pelo estudo com sólidos geométricos, por causa das contruções e dos recursos que este sofware possui. Sendo possível propor ideias e fazer experiências delas na sala de aula. Os objetivos foram alcançados. Um deles é a utilização da tecnologia para melhorar as aulas e a compreensão dos alunos diante de um conteúdo novo da matemática, isso aproximou ainda mais o objeto de estudo da realidade do estudante. Outro objetivo alcançado está na construção de sólidos geométricos no Geogebra, pois a utilização deste software produz uma imagem melhor da gura em relação à aquela produzida no quadro pelo professor. Além desses objetivos, o programa permite que o professor possa explorar os conceitos geométricos de forma mais eciente, tornando a aula mais interessante. Quando o professor faz o uso do software nas construções geométricas, ele deve estar ciente de que o domínio desta ferramenta é importante para que o mesmo não perca a atenção dos alunos, uma vez que existem construções que são complexas. Ao fazermos o uso desta ferramenta, observamos alguns cuidados, como o domínio dos comandos do programa Geogebra, visto que podem ocorrer imprevistos nas aulas e, se o professor não tem conhecimento sobre o software, isso propiciará a indisciplina na sala. Outro cuidado que devemos ter é o de não utilizar somente o Geogebra para as aulas de geometria, uma vez que a aula pode tornar-se repetitiva e desestimular o estudante. Além desses cuidados, o professor deve ter atenção em relação às construções geométricas, pois muitas delas levam certo tempo para serem construídas e se tornam inviáveis fazê-las na sala de aula, já outras são simples e ele pode pedir para que os 60 próprios alunos as façam. Gostaria ainda de lembrar aos professores que este trabalho é só uma ideia de como utilizar o software nas construções das guras geométricas, pois na internet o próprio professor pode buscar por construções mais detalhadas no uso do software. O programa Geogebra é uma excelente opção para as aulas de matemática. O professor só tem que ter o cuidado de não fazer desta ferramenta uma diversão ou lazer nas aulas, mas sim de utilizá-la como um apoio ao estudo e aprendizado dos alunos. 61 Referências Bibliográcas [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] DANTE, Luiz Roberto , Matemática, Editora Ática, Contexto e Aplicação, vo, Fundamentos da Matemática lume 2, 2013. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau, Elementar - volume 10. Atual Editora, 2013. DOMINGUES, Higino; IEZZI, Gelson , Álgebra moderna - volume único 4o , Matemática, Editora ed. Editora Atual, 2003. GIOVANNI, José Ruy ; BONJORNO, José Roberto FTD, volume 2, 1992. INSTITUTO GEOGEBRA. Disponível em: http://www.geogebra.org. Acesso em: 13/02/2016. LIMA, Elon Lages , Revista do Professor de Matemática. número 5, 2o semestre 1984, pág.: 23 à 25. SBM LIMA, E. C.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER,E.; MORGADO, A. C. , A Matemática do Ensino Médio. Volume 2. Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. 62