Programa de Pós-graduação em Matemática
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Item Subgradient and gradient methods with feasible inexact projections for constrained convex optimization problems(Universidade Federal de Goiás, 2021-04-30) Aguiar, Ademir Alves; Prudente, Leandro da Fonseca; http://lattes.cnpq.br/4573611419840935; Ferreira, Orizon Pereira; http://lattes.cnpq.br/0201145506453251; Ferreira, Orizon Pereira; Prudente, Leandro da Fonseca; Melo, Jefferson Divino Gonçalves de; Bento, Glaydston de Carvalho; Andreani, RobertoO método subgradiente com uma projeção inexata viável é proposto na presente tese para resolver problemas de otimização convexa com restrições não diferenciáveis. Para realizar a projeção inexata proposta em um conjunto restrito, uma tolerância de erro relativa é introduzida. Além do mais, em cada iteração, o algoritmo requer o cálculo de um subgradiente aproximado da função. Limitantes para a complexidade na iteração e resultados de convergência assintótica para a sequência gerada pelo método empregando os conhecidos tamanhos de passo exógeno, Polyak e dinâmico são estabelecidos. Finalmente, relatamos alguns resultados numéricos a fim de ilustrar o comportamento prático do algoritmo quando o conjunto de restrição é convexo e compacto. Aqui também consideramos um novo método gradiente com projeção inexata usando tolerância de erro relativa. Convergência assintótica e limitantes para a complexidade na iteração do método empregando tamanho de passo constante e de Armijo são apresentados. Resultados numéricos são relatados ilustrando as vantagens potenciais de considerar projeções inexatas em vez de exatas em alguns exemplos de média escala em problemas de mı́ nimos quadrados sobre o espectraedro.Item Conditional gradient methods for multiobjective optimization(Universidade Federal de Goiás, 2021-08-06) Assunção Filho, Pedro Bonfim de; Prudente, Leandro da Fonseca; http://lattes.cnpq.br/4573611419840935; Ferreira, Orizon Pereira; http://lattes.cnpq.br/0201145506453251; Ferreira, Orizon Pereira; Prudente, Leandro da Fonseca; Melo, Jefferson Divino Gonçalves de; Bento, Glaydston de Carvalho; Souza, João Carlos de OliveiraNeste trabalho, analisamos o método do gradiente condicional, também conhecido como método de Frank-Wolfe, para resolver problemas de otimização multiobjetivo restrita. Também propomos e analisamos uma versão generalizada deste método para resolver problemas de otimização composta multiobjetivo que consistem em minimizar simultaneamente várias funções objetivo. Cada função objetiva é a soma de duas funções, uma é considerada continuamente diferenciável e a outra não é necessariamente diferenciável. Ambos os métodos são analisados com três estratégias de obtenção dos tamanhos dos passos, a saber: tipo Armijo, adaptativos e tamanhos decrescentes dos passos. Propriedades de convergência assintótica e limites de complexidade de iteração com e sem suposições de convexidade na função objetivo são estabelecidas. Experimentos numéricos para o método do gradiente condicional são fornecidos para ilustrar a eficácia do método e certificar os resultados teóricos obtidos.Item Sobre estruturas gradiente Einstein-type produto torcido(Universidade Federal de Goiás, 2022-04-13) Batista, Elismar Dias; Adriano, Levi Rosa; http://lattes.cnpq.br/3206466156270217; Adriano, Levi Rosa; Corro, Armando Mauro Vasquez; Santos, João Paulo dos; Gomes, José Nazareno Vieira; Ribeiro Júnior, Ernani de SousaIn this work, we study gradient Einstein-type structures immersed in a warped product space of an interval I and a Riemannian manifold M, with a potential function h given by the height function. First, we obtained the necessary conditions for an Einstein-type gradient structure immersed in a warped product to be minimal, totally umbilic or totally geodesic. In addition, we provide triviality results for the potential function h. Next, we characterize the rotational hypersurfaces having a gradient Einstein-type structure in warped product, where the fiber is a space form. We also study particular cases of gradient Einstein-type structures in warped product spaces, namely, gradient Ricci-harmonic solitons (GRHS). In this case, we prove triviality results for the potential and warped functions when they reach a maximum or minimum. Finally, we provide a family non-enumerable of non-trivial geodesically complete examples of GRHS considering the base and fiber of a warped product conformal to a semi-Euclidean space invariant under the action of a translation group of codimension one.Item Ciclos limite de grande amplitude em sistemas lineares definidos por partes(Universidade Federal de Goiás, 2023-01-10) Becatti, Fernanda dos Anjos Félix; Freitas, Bruno Rodrigues de; http://lattes.cnpq.br/4201351441514126; Freitas, Bruno Rodrigues de; Cristiano, Rony; Carvalho, Tiago deIn this paper we deal with a family of piecewise smooth planar linear systems with two zones, we study about the maximum number of limit cycles that can be obtained when studying the orbit at infinity. We start from a canonical form with 12 parameters and reduce the number of parameters to 5 for the analysis. We investigate questions related to stability, characterization of the orbits and other properties that can be obtained by studying the family of systems under consideration.Item Trajectory control for two-dimensional piecewise linear dynamical systems(Universidade Federal de Goiás, 2022-08-25) Cabrera, Marly Tatiana Anacona; Cristiano, Rony; http://lattes.cnpq.br/5692970734994664; Cristiano, Rony; Tonon, Durval José; Pagano, Daniel JuanOs Sistemas Descontínuos Suaves por Partes (DPWS) são usados para descrever diversos fenômenos em diferentes áreas de estudo tais como física, biologia, química, engenharia, medicina, etc. Neste sistema, o movimento dinâmico do sistema é caracterizado por períodos de evolução suave interrompidos por eventos causados por algum tipo de descontinuidade, que pode ser dada pela natureza do sistema ou introduzida por alguma lei de controle descontínua. Uma característica importante desta classe de sistemas é a existência de um ponto de pseudo-equilíbrio que está sobre a superfície onde ocorre a descontinuidade, de tal modo que ele pode ser alcançado em tempo finito. O presente trabalho considera uma família de sistemas lineares por partes bidimensionais, com a descontinuidade dada por uma linha reta. Inicialmente, o comportamento dinâmico das trajetórias do sistema é totalmente caracterizado para os casos em que existe um pseudo-equilíbrio estável. Em seguida, são fornecidas condições sobre os parâmetros do sistema para garantir estabilidade em tempo finito e com no máximo uma comutação. Os resultados obtidos são aplicados a um sistema DPWS bidimensional que descreve a dinâmica de um tipo de conversor de potência denominado Buck Converter, onde se deseja que a partir de uma tensão inicial o sistema atinja uma tensão de saída desejada em tempo finito e com no máximo uma comutação.Item Hipersuperfícies de tipo Ribaucour(Universidade Federal de Goiás, 2022-09-27) Cárdenas Mendez, Milton Javier; Vasquez Corro, Armando Mauro; http://lattes.cnpq.br/4498595305431615; Vasquez Corro, Armando Mauro; Leandro Neto, Benedito; Carrion Riveros, Carlos Maber; Santos, João Paulo dos; Adriano, Levi RosaIn this work we define the Ribaucour-type surfaces (in short, RT-surfaces),These surfaces satisfy a relationship similar to the Ribaucour surfaces that are related to the Élie Cartan problem. This class furnishes what seems to be the first examples of pairs of noncongruent surfaces in Euclidean space such that, under a diffeomorphism, lines of curvatures are preserved and principal curvatures are switched. We show that every compact and connected RT-surface is the sphere with center at the origin. We obtain present a Weierstrass type representation for RT-surfaces with prescribed Gauss map which depends on two holomorphic functions. We give explicit examples of RT-surfaces. Also, we use this representation to classify the RT-surfaces of rotation. We define the GRT-surfaces which are a generalization of the RT-surfaces, show a local parameterization of this class of surfaces and classify them in the in which case they are of rotation and generalize as RT-surfaces for the case of hypersurfaces in Rn+1, display a parameterizationção for the rotational cases and analyze the general of generatrix curves when hypersurfaces and rotation behavior are 3-dimensional.Item Complexidade por iteração do método HPE e sua versão acelerada para otimização convexa(Universidade Federal de Goiás, 2023-04-10) Chagas, Marcus Vinícius de Morais; Melo, Jefferson Divino Gonçalves de; http://lattes.cnpq.br/8296171010616435; Melo, Jefferson Divino Gonçalves de; Gonçalves, Max Leandro Nobre; Bento, Glaydston de Carvalho; Alves, Maicon MarquesIn this work, we analyze the Hybrid Proximal Extragradiente (HPE) method to find zeroes of maximal monotone operators and its accelerated version Accelerated Hybrid Proximal Extragradient (A-HPE) to solve convex optimization problems whose objective function is given by the sum of two other convex functions, one differentiable with Lipschitz gradient and another one not necessarily differentiable. The HPE method was introduced by Solodov and Svaiter, it consists of an inexact version of the proximal point method having its proximal subproblems inexactly solved using a relative error criterion followed by an extragradient step. The HPE can also be seen as a framework, in the sense that many other methods for minimizing convex functions and more generally to find zeroes of maximal monotone operators can be seen as instances of the HPE method, such as the extragradient method, regularized Newton type method, ADMM, etc. In this work, we will analyze both the asymptotic convergence of the HPE method and its iteration-complexity.We will also analyze the iteration-complexity of the A-HPE method proposed by Monteiro and Svaiter. The A-HPE is a first-order accelerated method, i.e., it uses only information of the functional values and the first derivative or subgradients of the objective function and has optimal iteration-complexity.Item Uma caracterização da planaridade de uma família de funções binomiais sobre corpos finitos via curvas algébricas(Universidade Federal de Goiás, 2022-08-26) Chu, Daniel; Tenório, Wanderson; http://lattes.cnpq.br/6406888404650319; Tenório, Wanderson; Tizziotti, Guilherme Chaud; Cunha, Gregory DuranIn this work, we study a family of binomial functions given by $$ f_{a,b}(x)=ax^{2^{2^m}+1}+bx^{2^m+1}, \quad \mbox{with } \ a,b\in\mathbb{F}_{q^3}^\times, $$ over a finite field of characteristic 2. The aim consists to show that is possible to relate the planarity of the family above to a cubic plane projective curve $\mathcal{C}_{a,b}$. From this method, it is possible establish a characterization of the pairs $(a,b)\in(\mathbb{F}_{q^3}^\times)^2$ such that the function $f_{a,b}(x)$ is planar.Item On the classification of Ricci solitons and Yamabe solitons(Universidade Federal de Goiás, 2023-03-20) Contreras, Jeferson Arley Poveda; Leandro Neto, Benedito; http://lattes.cnpq.br/3393448440968708; Leandro Neto, Benedito; Santos, João Paulo do; Ribeiro Júnior, Ernani de Sousa; Tenenblat, Keti; Barboza, Marcelo BezerraIn this work, we will study the self-similar solutions of both Ricci flow and Yamabe flow. These solutions are also known as Ricci and Yamabe soliton, respectively. Inspired by the divergence equation used by Robinson in his demonstration of the uniqueness of static black holes and by Brendle’s classification of steady Ricci solitons, we will make some important characterizations of these solitons. We prove that four-dimensional gradient Yamabe solitons must have a Yamabe metric, provided that an asymptotic condition holds. Inspired by the geometry of the cigar soliton, we demonstrate that a gradient steady Ricci soliton is either Ricci flat with a constant potential function or a quotient of the product steady soliton N n−1×R, where N n−1 is Ricci flat, or isometric to the Bryant soliton. In the final Chapter, we prove some rigidity results for shrinking and expanding Ricci solitons.Item Variedades quasi-Einstein com simetrias e generalizações(Universidade Federal de Goiás, 2021-12-05) Correia, Paula Gonçalves; Pina, Romildo da Silva; http://lattes.cnpq.br/2675728978857991; Leandro Neto, Benedito; Adriano, Levi Rosa; Corro, Armando Mauro Vasquez; Santos, João Paulo dos; Ferraioli, Diego CatalanoIn this work we study quasi-Einstein warped products and generalized quasi-Einstein manifolds locally conformally flat. We prove that in some quasi-Einstein semi-Riemannian warped product the fiber is necessarily an Einstein manifold. We provide all quasi-Einstein manifolds when r-Bakry-Émery tensor is null, the base is conformal to a n-dimensional pseudo-Euclidean space, invariant under the action of the (n-1)-dimensional translation group, the potential function depends only on the base and the fiber is Ricci-flat. As an application, we provide a family of Ricci-flat warped product whose base is not locally conformally flat. Considering generalized m-quasi-Einstein manifolds conformal to the pseudo-Euclidean space, we used an ansatz method to obtain the most general symmetry group of maximal dimension in which there are solutions to the system of equations that describe such manifolds. In addition, using the same method, we show that there is no different invariant of smaller dimension on a generalized m-quasi-Einstein manifold.Item Uma desigualdade de Minkowski e soluções exatas para o espaço-tempo estático de Einstein-Maxwell(Universidade Federal de Goiás, 2023-02-24) Costa, Ana Paula de Melo da; Leandro Neto, Benedito; http://lattes.cnpq.br/3393448440968708; Leandro Neto, Benedito; Cruz, Cícero Tiarlos Nogueira; Adriano, Levi Rosa; Silva, Maria de Andrade Costa e; Batista, Rondinelle MarcolinoWe study the static Einstein-Maxwell space when it is conformal to an n-dimensional pseudo-Euclidean space, which is invariant under the action of an (n−1)-dimensional translation group. We also provide a complete classification of such space. Moreover, we prove a Minkowski-like inequality for an asymptotically flat static Einstein- Maxwell (electrovacuum) space-time using as an approach the inverse mean curvature flow (IMCF).Item On the effect of existence of static horizons(Universidade Federal de Goiás, 2021-12-17) Coutinho, Fernando Soares; Leandro Neto, Benedito; http://lattes.cnpq.br/3393448440968708; Leandro Neto, Benedito; Corro, Armando Mauro Vasquez; Ribeiro Júnior, Ernani de Sousa; Santos, João Paulo dos; Reis, Hiuri Fellipe Santos dosNeste trabalho estudamos os efeitos da existência do horizonte estático. Em geral, o horizonte estático é definido como o conjunto onde a função lapso, para uma variedade estática, é identicamente nula. Este conjunto está fisicamente relacionado com o horizonte de eventos, a fronteira de um buraco negro. No primeiro capítulo, estudamos a conjectura da bola fluida. Construímos uma fórmula de divergência de Robinson para o espaço tempo fluido perfeito estático. Inspirado por esta conjectura, um resultado de rigidez para o fator espacial de um espaço-tempo fluido perfeito estático satisfazendo algumas condições de contorno é provado, desde que uma equação de estado seja válida. No segundo capítulo, o objetivo é investigar a geometria do espaço-tempo fluido perfeito estático em variedades compactas com bordo. Fornecemos uma estimativa de bordo para espaço-tempo fluido perfeito estático e estabelecemos uma fórmula do tipo Böchner para uma grande classe de espaços que incluem o espaço-tempo fluido perfeito estático, métricas críticas do funcional de volume, espaços estáticos e métricas CPE. Mais ainda, como consequência desta fórmula obtemos um resultado do tipo “gap” para um espaço tempo fluído perfeito estático compacto.Item Problemas variacionais com norma L2 prescrita(Universidade Federal de Goiás, 2021-03-01) Cunha, Gabriel Neves; Silva, Kaye Oliveira da; http://lattes.cnpq.br/3634338534144726; Silva, Kaye Oliveira da; Siciliano, Gaetano; Miyagaki, Olimpio HiroshiIn this study, we searched for standing waves weak solutions for the Maxwell- Schrodinger- poisson system of partial differential equations by variational methods, minimizing the energy functional associated to the problem with constrained L2 norm.Item Nilpotência de grupos e álgebras de Lie admitindo grupos de Frobenius de automorfismos(Universidade Federal de Goiás, 2021-04-07) Dal Berto, Lucas Matheus de Lima; Silva, Jhone Caldeira; http://lattes.cnpq.br/6848751340618892; Silva, Jhone Caldeira; Rodrigues, Paulo Henrique De Azevedo; Lima, Igor dos SantosLet A be a group acting on a group G. It is known that some properties of G are influenced by CG(A), for example, suppose that a Frobenius group FH acts on a finite group G, we known that if CG(F) = 1 and CG(H) is nilpotent, then G is nilpotent and, adding the hypothesis that F is cyclic, we have that the nilpotency class of G is bounded in terms of the order of H and the nilpotency class of CG(H). Until now, it was not evident, considering the hypotheses mentioned above, if the nilpotency class of G could be made independent of the order of H. In this dissertation, we show that exists a family G of finite nilpotent groups, of unbounded nilpotency class, such that each group in G admits a metacyclic Frobenius group of automorphisms so that CG(F) = 1 and CG(H) is abelian, thus evidencing the essential dependency of the order of H in the nilpotency class of G.Item Melnikov theory for Filippov systems with an algebraic switching curve(Universidade Federal de Goiás, 2022-05-25) Erazo, Gerardo Homero Anacona; Gomide, Otávio Marçal Leandro; http://lattes.cnpq.br/6665788071640310; Gomide, Otávio Marçal Leandro; Andrade, Kamila da Silva; Ramírez Cespedes, Oscar AlexanderA existência de ciclos limite em sistemas dinâmicos é um tópico de pesquisa muito atrativo devido a suas amplas aplicações. A importância do desenvolvimento deste tema pode ser justificada por um dos itens da famosa lista de problemas proposta por David Hilbert que permanece em aberto e consiste em encontrar o número máximo de ciclos limite de um sistema planar polinomial. Em virtude de sua relevância, atualmente há um grande interesse em estender a busca de ciclos limite a outros tipos de sistemas, como os famigerados sistemas de Filippov. Neste trabalho, estudamos uma técnica para encontrar ciclos limite em sistemas dinâmicos suaves por partes, chamada Teoria de Melnikov, e aplicamos tal técnica para encontrar cotas inferiores para o número máximo de ciclos limite de sistemas polinomiais.Item Sistemas descontínuos lento-rápidos e aplicações(Universidade Federal de Goiás, 2023-01-26) Fernandes, Vitória Chaves; Euzébio, Rodrigo Donizete; http://lattes.cnpq.br/9213320273714493; Euzébio, Rodrigo Donizete; Tonon, Durval José; Buzzi, Claudio AguinaldoIn this work we study dynamical systems focused on two areas: discontinuous systems and singular perturbation problems. We analyze the intersection of these two areas through some theoretical results. In the first moment, we will present a theory similar to Fenichel's Theory for singularly perturbed discontinuous systems, later we will show that a system obtained via regularization can be associated with a singular perturbation problem. In addition, we will study a mathematical modeling in the area of climatology, with the objective of analyzing the bifurcations of singularities and the existence of a periodic orbit for certain specific parameters. In this model, we cannot apply Fenichel's theory, for this reason we use an ad-hoc application of Fenichel's Theory to demonstrate the desired results. Finally, we will present some unpublished results for the climatological model.Item Superfícies focais e pontos umbílicos Darbouxianos segundo a análise de Allvar Gullstrand(Universidade Federal de Goiás, 2019-02-13) Ferreira, Samuel Carlos de Souza; Garcia, Ronaldo Alves; http://lattes.cnpq.br/5680428710939826; Garcia, Ronaldo Alves; Freitas, Bruno Rodrigues de; Cruz, Douglas Hilário da; Silva, Débora Lopes daAllvar Gullstrand (1862-1930) was a Swedish ophthalmologist who received the Nobel Prize in Physiology orMedicine for his studies in images and refraction of light in the eye (EHINGER; GRZYBOWSKI, 2011). For the success of his research, Gullstrand would need advanced knowledge in Physics and Geometry. In order to understand the human eye, Gullstrand (1900) studied the focal surfaces and their respective singularities using the fourth order derivatives of a surface (NORDENSON, 1962, p. 285). The main goal of this dissertation was to study Gullstrand (1904) to understand the relation between the umbilic points and focal surfaces. In this sense, there are two possibilities for the focal surfaces, say M1 and M2, which depend on the type of the Darbouxian umbilic point, being that M1 is related to the types D1, D2 or D3 and M2 to the type D3. The relation between type of Darbouxian umbilic points and the focal surface will depend on the analysis of the ridges (critical points of the principal curvatures) that pass through the respective umbilic point where, for points of type D1 or D2 passes only one ridge and through the point of type D3 passes one or three ridges.Item Algoritmo proximal inexato tipo descida para otimização suave(Universidade Federal de Goiás, 2013-05-20) Godoi, Gean Henrique; Silva, Geci José Pereira da; http://lattes.cnpq.br/9174074436425246; Silva, Geci José Pereira da; Santos, Paulo Sérgio Marques dos; Ferreira, Orizon PereiraThe proximal method is a standard regularization approach in optimization. In this work we focus on a stopping rule of this algorithm, when smoothness is present, so that Newton-like method can be used to solve the subproblems. The basis for our stopping test is a "sufficient" decrease in the objective function where we establish the convergence of the algorithm obtained.Item Conjuntos limite e transitividade de campos vetoriais suaves por partes em variedades Riemannianas bi-dimensionais(Universidade Federal de Goiás, 2020-12-14) Jucá, Joaby de Souza; Varão Filho, José Régis Azevedo; http://lattes.cnpq.br/9729493483105088; Euzébio, Rodrigo Donizete; http://lattes.cnpq.br/9213320273714493; Euzébio, Rodrigo Donizete; Varão Filho, José Régis Azevedo; Oliveira, Regilene Delazari dos Santos; Buzzi, Claudio Aguinaldo; Tonon, Durval JoséIn this work we study piecewise-smooth vector fields defined on a two-di\-men\-sio\-nal differential manifold M, according to the Filippov convention. In the first part, M is considered as being any Riemannian manifold and we present a classification of the possible limit sets for a maximal trajectory whose its positive branch is contained on a compact subset $K\subset M$ (Theorem 3.1). We consider the occurrence of sliding motion and we verify the presence of limit sets with non-empty interior that can present a non-deterministic chaotic behavior. Moreover, we provide some examples and classes of systems satisfying the hypotheses of the main results. In the second part, we study the topological transitivity of piecewise-smooth vector fields defined on the two-dimensional sphere $S^2$. We guarantee the existence of an one-parameter family of topologically transitive piecewise-smooth vector fields on $S^2$ (Theorem 4.1), which does not happen for continuous vector fields on $S^2$. We prove that the occurrence of transitivity on $S^2$ implies the existence of escaping and sliding regions. We also prove they connect to each other through infinitely many Filippov trajectories. Moreover, we prove that there exist no robustly transitive piecewise-smooth vector fields on $S^2$.Item Equação de Choquard: existência de soluções de energia mínima para uma classe de problemas não locais envolvendo potenciais limitados ou ilimitados(Universidade Federal de Goiás, 2021-02-05) Lima, Eduardo Dias; Silva, Edcarlos Domingos da; http://lattes.cnpq.br/7817014732764711; Silva, Edcarlos Domingos da; Silva, Maxwell Lizete da; Melo Júnior, José Carlos de AlbuquerqueIn this work, we present a study on the existence of a minimum energy solution for the following non-linear Choquard equation { −Δ𝑢+𝑉(𝑥)𝑢=(∫𝑄(𝑦)𝐹(𝑢(𝑦))𝑑𝑦|𝑥−𝑦|𝜇𝑅𝑁)𝑢∈𝐷1,2(𝑅𝑁) 𝑄(𝑥)𝑓(𝑢(𝑥)) where 𝑁≥3,0<𝜇<𝑁,𝑉∈ 𝐶(𝑅𝑁,[0,+∞)),𝑄∈𝐶(𝑅𝑁,(0,+∞)),𝑓∈𝐶(𝑅,𝑅) and 𝐹(𝑡)=∫𝑓(𝑠)𝑑𝑠𝑡0. The non-linearity 𝑓:𝑅→𝑅 is continuous and has asymptotically linear behavior at infinity. Using some assumptions for the Nehari manifold N and some other inequalities, established at work, the equation above has a minimal energy solution. Moreover, through the Pohoˇzaev’s manifold, we guarantee existence of a minimal energy solution in the zero mass case. For the elaboration of this work, we follow the article [11] by S. Chen and S. Yuan.
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