Vários algoritmos para os problemas de desigualdade variacional e inclusão
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Data
2015-02-27
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Editor
Universidade Federal de Goiás
Resumo
Nesta tese apresentamos v arios algoritmos para resolver os problemas de Desigualdade Variacional
e Inclus~ao. Para o problema de desigualdade variacional propomos, no Cap tulo 2 uma
generaliza c~ao do algoritmo cl assico extragradiente, utilizando vetores normais n~ao nulos do
conjunto vi avel. Em particular, dois algoritmos conceituais s~ao propostos e cada um deles
cont^em tr^es variantes diferentes de proje c~ao que est~ao relacionadas com algoritmos extragradientes
modi cados. Duas buscas diferentes s~ao propostas, uma sobre a borda do conjunto
vi avel e a outra ao longo das dire c~oes vi aveis. Cada algoritmo conceitual tem uma estrat egia
diferente de busca e tr^es formas de proje c~ao especiais, gerando tr^es sequ^encias com diferente
e interessantes propriedades. E feito a an alise da converg^encia de ambos os algoritmos conceituais,
pressupondo a exist^encia de solu c~oes, continuidade do operador e uma condi c~ao
mais fraca do que pseudomonotonia.
No Cap tulo 4, n os introduzimos um algoritmo direto de divis~ao para o problema variacional
em espa cos de Hilbert. J a no Cap tulo 5, propomos um algoritmo de proje c~ao relaxada
em Espa cos de Hilbert para a soma de m operadores mon otonos maximais ponto-conjunto,
onde o conjunto vi avel do problema de desigualdade variacional e dado por uma fun c~ao n~ao
suave e convexa. Neste caso, as proje c~oes ortogonais ao conjunto vi avel s~ao substitu das por
proje c~oes em hiperplanos que separam a solu c~ao da itera c~ao atual. Cada itera c~ao do m etodo
proposto consiste em proje c~oes simples de tipo subgradientes, que n~ao exige a solu c~ao de
subproblemas n~ao triviais, utilizando apenas os operadores individuais, explorando assim a
estrutura do problema.
Para o problema de Inclus~ao, propomos variantes do m etodo de divis~ao de forward-backward
para achar um zero da soma de dois operadores, a qual e a modi ca c~ao cl assica do forwardbackward
proposta por Tseng. Um algoritmo conceitual e proposto para melhorar o apresentado
por Tseng em alguns pontos. Nossa abordagem cont em, primeramente, uma busca
linear tipo Armijo expl cita no esp rito dos m etodos tipo extragradientes para desigualdades
variacionais. Durante o processo iterativo, a busca linear realiza apenas um c alculo do operador
forward-backward em cada tentativa de achar o tamanho do passo. Isto proporciona
uma consider avel vantagem computacional pois o operador forward-backward e computacionalmente
caro. A segunda parte do esquema consiste em diferentes tipos de proje c~oes,
gerando sequ^encias com caracter sticas diferentes.
Descrição
Palavras-chave
Extragradient's method , Forward-Backward method , Linesearch , Maximal monotone operators , Point-to-set operator , Projection method , Quasi-Fej er and Fej er convergence , Relaxed method , Splitting Method , Variational inequality problem , Inclusion problem , Weak convergence , Busca Linear , Convergência fraca , Convergência Fej er e Quase-Fej er , Método de projeção , Método Extragradiente , Método Forward-Backward , Método Relaxado , Método de separação , Operador mon otono maximal , Operador ponto-conjunto , Problema de desigualdade variacional , Problema de inclusão
Citação
MILLAN, R. D. Vários algoritmos para os problemas de desigualdade variacional e inclusão. 2015. 99 f. Tese (Doutorado em Matemática) - Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2015.